58. Зайка - Физика вокруг нас - 2020 <!--if(Фестивали, конкурсы)-->- Фестивали, конкурсы<!--endif--> - Фотоальбомы - Официальный сайт школы №1 им. А.С. Попова г. Удомли
Беспечный заяц, ничего вокруг не замечая, бежал с постоянной скоростью по прямой тропинке вдоль поля, а на поле на расстоянии L от тропинки сидела голодная лиса. Она увидела зайца. А он находился в ближайшей к ней точке тропинки, и тут же пустилась в погоню. Лиса бежала с такой же по величине скоростью, что и заяц, и при этом все время "держала курс" на зайца. Через некоторое время лиса оказалась почти на тропинке, и расстояние между ней и зайцем перестало меняться. Каким стало это расстояние? Через сколько времени t лиса догонит зайца, если ее скорость U превышает скорость зайца V? Решение: Пусть в начальный момент заяц был в точке А, а лиса - в точке В. Лиса бежит по достаточно сложной кривой (см. рисунок), однако мы, подобно барону, не будем теряться и попробуем для начала определить, с какой скоростью лиса приближается к зайцу. Пусть в некоторый момент лиса находится в точке B′B′ и ее скорость направлена под углом αα к скорости зайца. Проецируя обе скорости на направление скорости лисы, получаем, что скорость сближения лисы и зайца v1=v−vcosα. К сожалению, в эту формулу входит угол αα, меняющийся со временем. Попробуем найти еще величину, куда входит угол αα. Спроецируем положение лисы на линию тропинки (точка B′′B′′). В рассматриваемый момент точка B′′B′′ движется как раз со скоростью vcosαα, и значит, заяц удаляется от точки B′′B′′ движется как раз со скоростью v2=v−vcosαα. Скорости v1v1 и v2v2 совпали! Это означает, что расстояние B′′A′B′′A′ растет точно с такой же скоростью, с какой уменьшается расстояние B′A′, т.е. сумма этих расстояний останется неизменной! Мы нашли в нашей задаче своеобразный «закон сохранения»: B′A′+B′A′=const. Поскольку в начальный момент времени B′′A′=0, а B′A′=L, получаем:
РИСУНОК (ниже в комментариях)
B′A′+B′A′=L (1) Через достаточно большой промежуток времени ( что нас и интересует) лиса будет бежать практически по самой тропинке, т.е. точки B′B′ и B′′B′′ совпадут. Тогда B′′A′=B′A′ совпадут. Тогда B′′A′=B′A′ . Из формулы (1) следует, что B′′A′=B′A′=L/2. Итак, через достаточно большое время (t≫L/vt≫L/v) расстояние между лисой и зайцем будет вдвое меньше начального. Стоит, наверно, обратить внимание на то, что мы не можем найти вид траектории движения лисы в этой задаче: ее движение является слишком сложным. Но это не помешало нам ответить на поставленные вопросы, потому что из переменных величин удалось составить постоянную величину, имеющую важный . v1=u−vcosα, v2=v−ucosα. (2)
(Заметим, что v2v2 вначале положительна, но через некоторое время становится отрицательной, когда точка B′′ начнет приближаться к точке A′). Исключая cosα из уравнений (2), получим: vv2−uv1=v2−u2, или (учитывая что:
v1=−ΔA′B′/Δtv1, v2=A′B′/Δt,
а величины v и u постоянны):
Δ(v⋅A′B′′+u⋅A′B′)/Δt=v2−u2<0.
Итак, величина v⋅A′B′′+uA′B′ убывает с постоянной скоростью u2−v2. Начальное значение этой величины uL, конечное (в трагический для зайца момент) равно нулю. Промежуток времени между этими моментами:
Администрации Удомельского городского округа
